Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\cfrac{\dfrac{(5x+4)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\dfrac{(5x+4)^n}{\sqrt{n}}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|5x+4|\cdot \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|5x+4|\cdot \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+n^{-1}}}\right)\\[15pt] &=\ |5x+4|\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+ 0}}\\[15pt] &=\ |5x+4| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$|5x+4|<1$ yani $\left|x+\frac45\right|<\frac15$ ise, yani $$x\in \left(-\frac45-\frac15,-\frac45+\frac15\right)=\left(-1,\frac35\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$|5x+4|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-1\right)\bigcup\left(\frac35,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$|5x+4|=1$ ise, yani $$x=-1 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=\frac35$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=3/5$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}$$ toplamı olur.
Toplamın ıraksaklığı:
$p$-seri testi gereği $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$$ toplamı, $p=\frac12 \leq 1$ olduğundan, ıraksaktır.
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=-1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$ toplamı olur.
Fikir:
İşaret değiştiren ve limiti sıfır olan dizimiz aynı zamanda mutlak olarak azalan olduğundan almaşık toplam testi kullanabiliriz.
İç terim dizisini tanımlama:
$a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ olarak tanımlayalım.
İşaret değiştirme:
Her $n\ge 1$ tam sayısı için $$(-1)^na_n=(-1)^n\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}>0$$ olduğundan $\{a_n\}$ dizisi almaşık bir dizidir.
(Mutlak) Limitin sıfır olması:
İç terimlerin mutlağının limitine bakarsak $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0$$ eşitliği sağlanır.
Mutlak olarak azalan olması:
$[1,\infty)$ üzerinde $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac12}$ fonksiyonu ile ilgilenirsek $$f^\prime(x)=-\frac12x^{-3/2}=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}<0$$ eşitsizliği bize $f$ fonksiyonunun ve dolayısıyla da $\{|a_n|\}$ dizisinin azalan olduğunu verir.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu koşullar sağlandığı için, almaşık toplam testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$ toplamı yakınsak olur.
Sonuç:
$\left.\left[-1,\frac35\right.\right)$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(5x+4)^n}{\sqrt{n}}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.