Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\cfrac{\dfrac{(-5)^{n+1}x^{n+1}}{\sqrt{(n+1)+1}}}{\dfrac{(-5)^nx^n}{\sqrt{n+1}}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(5\cdot |x|\cdot \dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(5\cdot |x|\cdot \dfrac{\sqrt{1+n^{-1}}}{\sqrt{1+2n^{-1}}}\right)\\[15pt] &=\ 5|x|\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+2\cdot 0}}\\[15pt] &=\ 5|x| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$5|x|<1$ ise, yani $$x\in \left(-\frac15,\frac15\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$5|x|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-\frac15\right)\bigcup\left(\frac15,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$5|x|=1$ ise, yani $$x=-\frac15 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=\frac15$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=-1/5$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ toplamı olur.
Limit karşılaştırma testi için limit:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}}{\dfrac1{\sqrt n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+n^{-1}}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{1+0}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p$-seri testi gereği $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$$ toplamı, $p=\frac12 \leq 1$ olduğundan, ıraksaktır.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=1/5$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$$ toplamı olur.
Fikir:
İşaret değiştiren ve limiti sıfır olan dizimiz aynı zamanda mutlak olarak azalan olduğundan almaşık toplam testi kullanabiliriz.
İç terim dizisini tanımlama:
$a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$ olarak tanımlayalım.
İşaret değiştirme:
Her $n\ge 1$ tam sayısı için $$(-1)^na_n=(-1)^n\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}>0$$ olduğundan $\{a_n\}$ dizisi almaşık bir dizidir.
(Mutlak) Limitin sıfır olması:
İç terimlerin mutlağının limitine bakarsak $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=0$$ eşitliği sağlanır.
Mutlak olarak azalan olması:
$[1,\infty)$ üzerinde $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=(x+1)^{-\frac12}$ fonksiyonu ile ilgilenirsek $$f^\prime(x)=-\frac12(x+1)^{-3/2}=-\dfrac{1}{2(x+1)^{3/2}}<0$$ eşitsizliği bize $f$ fonksiyonunun ve dolayısıyla da $\{|a_n|\}$ dizisinin azalan olduğunu verir.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu koşullar sağlandığı için, almaşık toplam testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$$ toplamı yakınsak olur.
Sonuç:
$\left.\left(-\frac15,\frac15\right.\right]$ aralığındaki $x$ değerleri için $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-5)^nx^n}{\sqrt{n+1}}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.