Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada kök testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
(Bu aşama bu soru için geçerli olmayacak.)
Birinci aşama - Kök testi ile gelen bilgi:
Kök testi için limit:
Kök testi için limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{(2+5x)^n}{n^n}\right| \ = \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|2+5x|}{n}\ = \ 0\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Bu limit değeri her $x$ için $<1$ olduğundan, verilen $$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(2+5x)^n}{n^n}$$ toplamı $(-\infty,\infty)$ aralığı üzerinde yakınsar.