Fikir ve analiz:
- Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz.
- $|\sin|\le1$ olduğundan mutlağı $n^2/2^n$ ile üstten sınırlayabiliriz.
- Bu toplam oran testi gereği yakınsar
- ve direkt karşılaştırma testi ile toplamımız
mutlak yakısak olur.
Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{equation}\label{eq}0\le \left|n^22^{-n}\sin(2n)\right|=n^22^{-n}|\sin(2n)|\le n^22^{-n}=\dfrac{n^2}{2^n} \end{equation} eşitsizliği sağlanır.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{n^2}{2^n}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\dfrac{n^2}{2^n}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^2}{2\cdot n^2} \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{(1+1/n)^2}{2}\\[15pt] &= \dfrac{(1+0)^2}{2}\\[15pt] &= \dfrac{1}{2}\end{align*} eşitligi sağlanır.
Sonuç:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2}{2^n}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.
Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|n^22^{-n}\sin(2n)\right|$$ toplamı yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^22^{-n}\sin(2n)$$ toplamız, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.