Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz.
- Payda eşitleyip eşlenik çarpımı yaparsak $$\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt n\cdot \sqrt{n+1}\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt n)}$$ eşitliği sağlanır.
- Bu şekilde ifade ettiğimizde terimin paydası $n^{3/2}$ büyük olur ve
- terimleri $1/n^{3/2}$ terimli yakınsak toplamdan küçük olan bir toplamla ilgilenmiş oluruz.
Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{align*}0\le \left|(-1)^n\left(\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right|\ &= \ \dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\\[15pt] &= \ \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n\cdot \sqrt{n+1}}\\[15pt] &= \ \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n \cdot \sqrt{n+1}}\cdot \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\\[15pt] &= \ \dfrac{1}{\sqrt n\cdot \sqrt{n+1}\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt n)}\\[15pt] &\le \ \frac{1}{n^{3/2}} \end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3/2 >1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|(-1)^n \left(\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\right|$$ toplamı yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left(\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.