Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz.
- Bu durumda $\ln n/n^2$ ile ilgilenmiş oluruz.
- $\ln n$ kuvvet fonksiyonlarından güçsüz olduğundan
(işe yarar biçimde) $\sqrt n$den güçsüz olması ile
$1/n^{3/2}$ terimli yakınsak toplam ile ilgilenerek
yakınsak olduğunu gösterebiliriz.
Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{equation}\label{eq}0\le \left|\frac{(-1)^n\ln n}{n^2}\right|\le \frac{\ln n}{n^2} \end{equation} eşitsizliği sağlanır.
Limit karşılaştırma testi:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{3/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\ln n}{n^2}}{\dfrac{1}{n^{3/2}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln n}{\sqrt n} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\ln x}{\sqrt x} && (\text{diziden fonksiyona)} \\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{1/x}{1/(2\sqrt x)} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty}\frac{2}{\sqrt x} \\[15pt] &= \ 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3/2 > 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^2} =\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n\ln n}{n^2}\right|$$ toplamız yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ln n}{n^2}$$ toplamız, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.