Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $\sqrt{n^2+n+1}-n$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $1/2$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)^n\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right) \\[15pt] &= \ {\color{orange}{\dfrac12}}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)^n$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.
İlgili limitin bulunması:
$\infty-\infty$ belirsizliğini $\infty/\infty$ belirsizliğine çevirebilmek için payı ve paydayı $\sqrt{n^2+n+1}+n$ ile çarpalım.\begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\ &= \ \lim\limits_{n\to \infty}\left[\left(\sqrt{n^2+n+1}-n\right)\cdot\frac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\right]\\[21pt] & = \ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n^2+n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\\[21pt] & = \ \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}\end{align*}Payı ve paydayı terim terim $n$ ile bölelim ve sonsuzda $n^{-1}$ ve $n^{-2}$ limitlerinin $0$ olduğunu kullanarak limit değerini bulalım. Bu yol ile\begin{align*}\phantom{\lim\limits_{n\to \infty}}\ & = \ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1+n^{-1}}{\sqrt{1+n^{-1}+n^{-2}}+1}\\[21pt] & = \ \frac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}\\[21pt] & = \ \frac12\end{align*}eşitliğini buluruz.