Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $2^{1/n}-1$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $0$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek, $2^x$ fonksiyonu $0$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(2^{1/n}-1\right)^n\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(2^{1/n}-1\right) \\[15pt] &= 2^0-1\\[15pt] &= 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(2^{1/n}-1\right)^n$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.