Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{2^n}{n!}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1} \\[15pt] &= 0\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.