Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Limitsel olarak terimi $(\ln n)/n$ olan toplamla ilgilenebiliriz.
- Bu terim ıraksak $1/n$ toplamının (limiti sonsuz olan) $\ln n$ ile çarpımı.
- Verilen toplamı terimleri $1/n$ olan toplam ile ilişkilendirerek sonuca ulaşabiliriz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{\ln n}{2n+1}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\ln n}{2+\frac1n} \\[15pt] &= \ \infty\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1 \le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{\ln n}{2n+1}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.