Fikir ve analiz:
- $n$, $\ln n$ üzerinde baskın olduğundan
- Kök testi uygularsak limit $1/3$ gelir ve sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{1}{3^{n-\ln n}}\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{3^{1-\frac{\ln n}n}}\\[15pt] &= \ \frac1{3^{1-\color{orange}{0}}}\\[15pt] &= \ \frac13\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{n-\ln n}}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.
Gerekli bir limit hesaplaması:
\begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} \ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} && {\color{orange}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1/x}{1}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}\\[15pt] &= \ 0 \end{align*} eşitliği sağlanır.