Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Payda olan $3^{1/n^2}+1$ ifadesi alttan $2$ üstten $3$ ile sınırlıdır.
Ayrıca sonsuzdaki limiti $2$ değerine eşittir. - Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki, basit hali ile, en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile, terimleri $1/n^3$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^3$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{3^{1/n^2}+1}{3n^3+1}}{\dfrac1{n^3}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3^{1/n^2}+1}{3+n^{-3}} \\[15pt] &= \ \frac{3^0+1}{3+0}\\[15pt] &= \ \frac23\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{ n^3}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{1/n^2}+1}{3n^3+1}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.