Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $n^4$ ile alttan sınırlıdır.
- Payda $n^5$ ile üstten sınırlıdır.
- Bu bakışla toplamın terimleri $1/n$ le alttan sınırlanmış olur.
Direkt karşılaştırma testi için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $n^4+4\ge n^4$ ve $0<n^5\sin^2(n^5)\le n^5$ eşitliği sağlanır ve $$\frac{n^4+4}{n^5\sin^2(n^5)}\ge \dfrac{n^4}{n^5}=\dfrac1n $$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı, $p=1 \le 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^4+4}{n^5\sin^2(n^5)}$$toplamı ıraksak olur.