$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{2+\sin n}{n^2}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2+\sin n}{n^2}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

---

Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım. 

• Payda bulunan $2+\sin n$ ifadesi sınırlı bir ifade, alttan $1$ ve üstten $3$ ile sınırlıdır.
• Paydada ise $n^2$ ifadesi var. 
• Bu bilgiler ile ilgilenmemiz gereken toplam teriminin, basit hali ile, $1/n^2$ olması gerektiğini görürüz.
• Bu toplam $p$-testi gereği yakınsak bir toplam olduğundan karşılaştırma testine uygun olarak $3/n^2$ terimli toplamla ilgilenmeliyiz.

---

---

Direkt karşılaştırma testi:

Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için  $1 \leq 2+\sin n  \le 3$ eşitsizliği sağlanır ve  $$0<\frac{2+\sin n}{n^2} \le   3\cdot\frac{1}{n^2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2 > 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsar.

Sıfır olmayan sabit ile çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac3{n^2}$$ toplamı yakınsar.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty  \frac{2+\sin n}{n^2}$$ toplamı yakınsak olur.

Answer 2

Temel yapılan bir hata:
Direkt karşılaştırma testine ya da sınırlılığa girmeden şöyle bir çözüm uğraşı olabilir. Toplam terimleri $1/n^2$ olan toplamla limit karşılaştırma testi girişimine girersek  $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{2+\sin n}{n^2}}{\dfrac1{n^2}}=\lim\limits_{n \to \infty}\left(2+\sin n\right)$$ limitinin var olmamadığını görürüz. Bu limitin var olmaması toplamın ıraksak olduğu anlamına gelmez, bu örnek de halihazırda buna karşı bir örnektir. 

---

---

Limit karşılaştırma testi için alternatif karşılaştırmalar:
Toplamın yakınsak olduğunu göstermek için limit kıyaslaması sıfır olacak örnekler seçebiliriz. Bunu $1<\alpha <2$ olmak üzere herhangi bir $1/n^\alpha$ ile yapabiliriz. 

Burada limit hesabı için sıkıştırma savını da kullanmamız gerekir. 

---

---

Bir limit karşılaştırma örneği:

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{3/2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{2+\sin n}{n^2} }{ \dfrac1{n^{3/2}} } \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{2+\sin n}{\sqrt{n}} \\[15pt] &\mathop{=}^{(*)} \ 0 \end{align*} eşitliği sağlanır. (Son eşitlik aşağıda verilmiştir.)

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3/2>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$$  toplamı $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2+\sin n}{n^2}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

---

---

Eksik bırakılan limit hesaplaması:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1\le \sin n \le 1$ olduğundan $$\dfrac1{\sqrt n}\le \dfrac{2+\sin n}{\sqrt n} \le \dfrac3{\sqrt n}$$ eşitsizliği sağlanır. 

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac1{\sqrt n}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac3{\sqrt n}=0$ olduğundan, sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2+\sin n}{\sqrt n}=0$$ eşitliği sağlanır.