Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
(Bu aşama bu soru için geçerli olmayacak.)
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini için limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{1+2^{n+1}}{1+(n+1)!}(3-7x)^{n+1}}{\dfrac{1+2^n}{1+n!}(3-7x)^n}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{1+2^{n+1}}{1+2^n}\cdot \dfrac{1+n!}{1+(n+1)!}\cdot |3-7x|\right)\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{\frac1{2^n}+2}{\frac1{2^n}+1}\cdot \dfrac{\frac1{(n+1)!}+\frac1{n+1}}{\frac1{(n+1)!}+1}\cdot |3-7x|\right)\\[15pt] &= \ \dfrac{0+2}{0+1}\cdot \dfrac{0+0}{0+1} \cdot |3-7x|\\[15pt] &= \ 0 \end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Bu limit değeri her $x$ için $<1$ olduğundan, verilen $$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1+2^n}{1+n!}(3-7x)$$ toplamı $(-\infty,\infty)$ aralığı üzerinde yakınsar.