Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Paydadaki $n!$ ifadesi $n(n-1)$ ifadesinden büyük olduğundan
- toplamı (limitsel olarak) terimleri $1/n^2$ yakınsak toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 2$ pozitif tam sayısı için $n!\ge n(n-1)>0$ eşitsizliği sağlanır ve \begin{equation}\label{eq}0 < \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n(n-1)}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz.
Limit karşılaştırma testi için aday:
Direkt karşılaştırma testine aday toplama terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. Terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{n(n-1)}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n-1} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1-n^{-1}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1-0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı 1:
$p=2 > 1$ olduğundan$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı 2:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \frac1{n(n-1)}$$ toplamının yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n!}$$ toplamının yakınsak olur.