Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $n$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $1/n$ olan toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{n-\sin n}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1-\frac{\sin n}n}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1-0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le1$ olduğundan, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-seri testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n-\sin n}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Eksik bırakılan limit hesaplaması:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1\le \sin n \le 1$ olduğundan $$\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac1{n}$$ eşitsizliği sağlanır.
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-1}{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac1{n}=0$ olduğundan, sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sin n}{n}=0$$ eşitliği sağlanır.