Fikir:
Kuvvet toplamlarını ve kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanarak sonuca ulaşacağız.
Yöntem:
- Bilindik $e^x$ kuvvet toplamı ile
- $e^x-x-1$ kuvvet toplamını ve sonrasında
- $(e^x-1-x)/x^2$ kuvvet toplamını bulacağız.
- Kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanarak sonuca ulaşacağız.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\qquad {\color{pink}{ =1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
Payın kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x-1-x=\left(\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\right)-1-x=\sum_{n=2}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\qquad {\color{pink}{ =\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
İç fonksiyonun kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R\setminus\{0\}$ için $$\dfrac{e^x-1-x}{x^2}=\dfrac1{x^2}\sum_{n=2}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=\sum_{n=2}^\infty\dfrac{x^{n-2}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^{n}}{(n+2)!}\qquad {\color{pink}{ =\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{6}+\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
Limit hesaplaması:
Sıfır noktası civarında fonksiyon eşitliği ve kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanırsak $$\lim_{x\to 0} \dfrac{e^x-1-x}{x^2}\ = \ \lim_{x\to 0} \sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(n+2)!}x^{n} \ = \ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(n+2)!}0^{n} \ = \ \frac1{(0+2)!} \ = \ \dfrac12$$ eşitliği sağlanır.
Not: Polinomları ve kuvvet toplamlarını ifade ederken sabit terimi $a_0$ olarak yazmak yerine $a_0x^0$ olarak yazarız ve büyük toplam ile birleştiririz. Bu bağlamda oluşan $0^0$, $1$ olarak işlev görür.