Fikir:
Kuvvet toplamlarını ve kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanarak sonuca ulaşacağız.
Yöntem:
- Bilindik $\sin x$ kuvvet toplamı ile
- $x-\sin x$ kuvvet toplamını ve sonrasında
- $(x-\sin x)/x^3$ kuvvet toplamını bulacağız.
- Kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanarak sonuca ulaşacağız.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$\sin x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad {\color{pink}{ =x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
Payın kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$x-\sin x=x- \left(\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad {\color{pink}{ =\dfrac{x^3}{3!}-\dfrac{x^5}{5!}+\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
İç fonksiyonun kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R\setminus\{0\}$ için $$\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\dfrac1{x^3}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}x^{2n-2}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+3)!}\qquad {\color{pink}{ =\dfrac{1}{3!}-\dfrac{x^2}{5!}+\cdots}}$$ eşitliği sağlanır.
Limit hesaplaması:
Sıfır noktası civarında fonksiyon eşitliği ve kuvvet toplamlarının sürekliliğini kullanırsak $$\lim_{x\to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3}\ = \ \lim_{x\to 0} \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+3)!}x^{2n} \ = \ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^{n}}{(2n+3)!}0^{2n} \ = \ \frac{(-1)^0}{(2\cdot 0+3)!} \ = \ \dfrac16$$ eşitliği sağlanır.
Not: Polinomları ve kuvvet toplamlarını ifade ederken sabit terimi $a_0$ olarak yazmak yerine $a_0x^0$ olarak yazarız ve büyük toplam ile birleştiririz. Bu bağlamda oluşan $0^0$, $1$ olarak işlev görür.