Fikir ve yöntem:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ integrali ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- İntegrali $-\ln(1-t)$ olur.
- $t=x/3$ dönüşümü yaparak ve
- eksilisine $\ln 3$ ekleyerek sonuca ulaşabiliriz.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
İntegrali:
Her $|t|<1$ için $$-\ln(1-t)=\int_0^t\dfrac{1}{1-u}\ du=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{t^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{t^{n}}{n}$$ eşitliği sağlanır.
Verilen ifadeyi düzenleme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*} \ln(3-x)\ &= \ \ln(3\cdot (1-(x/3)))\\[15pt] &= \ \ln 3+\ln (1-(x/3))\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|x/3|<1$, yani $|x|<3$, olduğunda \begin{align*}\ln(3-x)\ &= \ \ln 3+\ln (1-(x/3)) \\[15pt] &= \ \ln 3-\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(x/3)^{n}}{n}\\[15pt] &= \ \ln 3+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{-1}{n\cdot 3^n}x^n\end{align*} eşitliği sağlanır.
Not:
Bu toplam $x=3$ için ıraksarken $x=-3$ için, almaşık toplam testi gereği, yakınsar. Bu nedenle yakınsaklık aralığı $[-3,3)$ olur.