Fikir:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- $t=-x/3$ dönüşümü yaparak ve
- $1/3$ ile çarparsak sonuca ulaşabiliriz.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
Bilindik hale getirme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*}\dfrac{1}{3+x}\ &= \ \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1+(x/3)}\\[15pt] &= \ \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-(-x/3)}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|-x/3|<1$, yani $|x|<3$, olduğunda \begin{align*}\dfrac{1}{x+3}\ &= \ \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-(-x/3)}\\[15pt] &= \ \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty(-x/3)^n\\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{3^{n+1}}x^n\end{align*} eşitliği sağlanır.