Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
(Bu aşama bu soru için geçerli olmayacak.)
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak, $x\ne -\frac13$ için, \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{(n+1)!(3x+1)^{n+1}}{n!(3x+1)^n}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left((n+1)\cdot |3x+1|\right)\\[15pt]&= \ \infty\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Bu limit değeri her $x\ne -\frac13$ için $>1$ olduğundan, verilen $$ \sum_{n=1}^\infty n!(3x+1)^n$$ toplamı sadece $x=-\frac13$ için yakınsar.