Fikir:
İç ifadeyi teleskopik toplamsal yazıp sonuca ulaşacağız.
Terimleri teleskopik olarak yazma:
$n\ge 1$ için \begin{align*}n^4+4 \ &= \ (n^4+4n^2+4)-4n^2\\[15pt] &= \ (n^2+2)^2-(2n)^2\\[15pt] &= \ (n^2-2n+2)\cdot (n^2+2n+2)\\[15pt] &= \ ((n-1)^2+1)\cdot ((n+1)^2+1)\end{align*} eşitliği sağlanır ve $$\dfrac{n}{n^4+4}=\dfrac14\left(\dfrac1{(n-1)^2+1}-\dfrac1{(n+1)^2+1}\right)$$ eşitliğini elde ederiz.
Parça toplam:
$k\ge 2$ için \begin{align*}\require{cancel}\sum_{n=1}^k \dfrac{n}{n^4+4}\ &= \ \sum_{n=1}^k \dfrac14\left(\dfrac1{(n-1)^2+1}-\dfrac1{(n+1)^2+1}\right) \\[25pt] &= \ \dfrac14\left(1-\cancel{\frac15}\right)\\ &\ \ + \dfrac14\left(\frac12-\cancel{\frac1{10}}\right)\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac15}-\cancel{\frac1{17}}\right)\\ &\ \ \, +\\ &\ \ \ \vdots\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{(k-3)^2+1}}-\cancel{\frac1{(k-1)^2+1}}\right)\\&\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{(k-2)^2+1}}-\frac1{k^2+1}\right)\\ &\ \ +\dfrac14\left(\cancel{\frac1{(k-1)^2+1}}-\frac1{(k+1)^2+1}\right)\\[25pt] &=\ \dfrac14 \left(1+\frac12-\frac1{k^2+1}-\frac1{(k+1)^2+1}\right)\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
Parça toplamlardan gelen sonucu kullanırsak \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{n^4+4} \ &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k \dfrac{n}{n^4+4}\\[10pt] &= \ \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac14 \left(1+\frac12-\frac1{k^2+1}-\frac1{(k+1)^2+1}\right)\\[10pt] &= \ \dfrac14 \left(1+\frac12-0-0\right) \\[10pt] &= \ \frac38\end{align*} eşitliğini elde ederiz.