Fikir:
Verilen toplamın sonsuza ıraksadığını direkt kıyaslama testi ile gösterebiliriz.
Analiz:
- Toplamın içerisindeki terim $2/(n+3)$ ifadesinden büyük
- Bu da basit hali ile toplamı ıraksak olan $1/n$ terimi ile ilişki.
Direkt karşılaştırma testi için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n\ge 3$ pozitif tam sayısı için $$0<\frac1n\le \frac2{n+3}<\dfrac{4^{n+2}}{5^{n+3}}+\dfrac{2}{n+3}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$ toplamı, $p=1 \le 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği sonsuza ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{4^{n+2}}{5^{n+3}}+\dfrac{2}{n+3}\right)$$toplamı sonsuza ıraksar.