Fikir:
Verilen toplamın değerini geometrik, teleskopik ya da kuvvet serileri kullanarak elde etmeye çalışacağız.
Yöntem:
Verilen toplamın terimini analiz etmeye çalışalım.
- Pay iki üssel fonksiyonunun farkı.
- Payda ise bir üssel fonksiyon barındırıyor.
- Toplanan terimleri $(3/5)^n-(2/5)^n$ farkı olarak görebiliriz
ve bu bize toplamın değeri geometrik toplam kullanarak bulma fırsatı verir.
Toplamı geometrik toplamların farkı olarak yazma:
Toplamın içerisindeki terimleri düzenlersek, toplamı \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n-2^n}{5^n} &=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3^n}{5^n}-\frac{2^n}{5^n}\right)\\[15pt]&=\sum_{n=0}^\infty \left(\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{2}{5}\right)^n\right) \end{align*}olarak ifade edebiliriz.
Geometrik toplam hesaplaması:
$|r|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=0}^\infty r^n \ =\ \dfrac{1}{1-r}$$ eşitliği sağlanır.
Ayrı ayrı hesaplama:
$|3/5|<1$ ve $|2/5|<1$ sağlandığından, geometrik toplam gereği, \[\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac1{1-(3/5)}=\frac52\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n=\frac1{1-(2/5)}=\frac53\] eşitliklerini elde ederiz.
Toplamı hesaplama:
Bu iki toplam yakınsak olduğundan farkları ile elde edeceğimiz toplam da yakınsak olur ve $$\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n-2^n}{5^n}\ =\ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n- \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n\ =\ \frac52-\frac53\ = \ \frac56$$ eşitliği sağlanır.