Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydada bulunan kök içerisindeki en güçlü terim olan $n$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $1/\sqrt{n}$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt{n}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}}{\dfrac1{\sqrt n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\frac1n+\sqrt{\frac1{n^3}}}}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{0+\sqrt{0}}}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$$ toplamı, $p=1/2 \leq 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.