Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Herhangi bir $r>0$ için $x^r$ fonksiyonu
sonsuzda $\ln x$ üzerinde baskındır.
- Bu nedenle $1/n^{1.00009}$ ile kısaylama yaparsak
bize limiti sıfır olan bir sonuç vereceğinden
bu terimle limit kıyaslama testi yapabiliriz.
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{1.00009}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{\dfrac{\ln n}{n^{1.0001}}}{\dfrac1{n^{1.00009}}}\ &= \ \lim_{n \to \infty}\frac{\ln n}{n^{0.00001}}\\[15pt] &= \ \lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x^{0.00001}}\\[15pt] &= \lim_{x \to \infty}\frac{x^{-1}}{x^{0.00001-1}}\\[15pt] &= \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{0.00001}}\\[15pt] &= 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1.00009}}$$ toplamı, $p=1.00009> 1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln n}{n^{1.0001}}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Genelleştirme:
$\epsilon>0$ olmak üzere $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\ln n}{n^{1+\epsilon}}$$ toplamı yakınsar.