Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplam terimini incelersek
- payda bulunan $\arctan(n\sqrt n)$ sınırlı ve limit $\pi/2$ olan bir ifade ve
- paydasındaki en güçlü ifade ise $n^2$.
- Bu ilişkilendirme ile toplam limitsel olarak terimi $1/n^2$ olan toplam ile ilişkili olur.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\arctan(n\sqrt n)}{n^2}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\arctan(n\sqrt n)\\[15pt] &= \ \frac\pi2\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2 > 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan(n\sqrt n)}{n^2}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.