Fikir ve analiz:
$\sin$ tek fonksiyon olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin \left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\sin \left(\dfrac{1}{n}\right)$$ eşitliği sağlanır.
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan bu toplama almaşık toplam testi uygulayacağız.
Almaşık olması:
Toplamın terimlerine $\{a_n\}$ diyelim.
$\sin$ fonksiyonu $(0,1)$ aralığı üzerinde pozitif değerler aldığından her $n$ pozitif tam sayısı için $$(-1)^na_n=\sin(1/n)>0$$ eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla toplamın terimleri almaşık biz dizidir.
Mutlak olarak azalan olması:
$\sin$ fonksiyonu $(0,1)$ aralığında artan bir fonksiyon ve $\{1/n\}$ dizisi bu aralık içerisinde azalan bir dizi. Bu nedenle $$\{\sin(1/n)\}$$ azalan bir dizi olur.
Limitin sıfır olması:
$1/n$ sıfıra gittiğinden ve $\sin$, özel olarak sıfır noktasında, sürekli olduğundan $$\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac1n\right)=\sin 0=0$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin \left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)$$ toplamı almaşık toplam testi gereği yakınsar.