Fikir:
Bu toplamın terim limitinin var olmadığından (mutlağının limiti $2/\pi$ olduğundan) sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim mutlağının limiti:
Toplam içerisindeki terimin mutlağının limitine baktığımızda $$\lim\limits_{n\to \infty}\left|\dfrac{(-1)^n}{\arctan n}\right| \ = \ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{\arctan n} \ = \ \dfrac{1}{\pi/2}=\dfrac2\pi$$ eşitliği sağlanır.
Terim limiti:
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti $0$ ise mutlağının o noktadaki limiti de $0$ olur. Üstte bulduğumuz sıfır olmayan limit gereği $\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n$ limiti sıfıra eşit olamaz.
Not: İsterseniz tek $n$ değerleri için limitin $-2/\pi$ye, çift $n$ değerleri için limitin $2/\pi$ye gitiğini göstererek limit yoktur diyebilirsiniz. Bizim için sıfır olmadığını söylemek yeterli olduğundan bu çabaya girmedik.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\arctan n}$$ toplamı ıraksar.