Fikir:
Bu toplamın terim limitinin var olmadığından (mutlağının limiti $1/2$ olduğundan) sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim mutlağının limiti:
Toplam içerisindeki terimin mutlağının limitine baktığımızda $$\lim\limits_{n\to \infty}\left|(-1)^n\dfrac{n}{2n+1}\right| \ = \ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n}{2n+1} \ = \ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{2+n^{-1}} \ = \ \dfrac{1}{2+0}=\dfrac12$$ eşitliği sağlanır.
Terim limiti:
Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti $0$ ise mutlağının o noktadaki limiti de $0$ olur. Üstte bulduğumuz sıfır olmayan limit gereği $\lim\limits_{n \to \infty}(-1)^n$ limiti sıfıra eşit olamaz.
Not: İsterseniz tek $n$ değerleri için limitin $-1/2$ye, çift $n$ değerleri için limitin $1/2$ye gitiğini göstererek limit yoktur diyebilirsiniz. Bizim için sıfır olmadığını söylemek yeterli olduğundan bu çabaya girmedik.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \dfrac{n}{2n+1}$$ toplamı ıraksar.