Fikir:
Verilen toplamdaki terimlerin doğal fonksiyon halinin integralini almak mümkün. Bu nedenle verilen toplam için integral testini uygulayabiliriz.
İntegral testini uygulayabilmek için
İlgili fonksiyonun, bir yerden sonra,
pozitif,
sürekli ve
azalan
olması gerekiyor.
Bu şartların sağlandığını göstermeden integral testini uygulayamayız.
Şartların sağlandığını gösterme:
İlgili fonksiyon:
Verilen toplamın terimlerini $[1,\infty)$ üzerinde $$f(x)=\frac{1}{x(\ln^2 x+1)}$$ kurallı fonksiyon ile ilişkilendireceğiz.
Pozitiflik:
$x\ge 1$ için $x>0$ ve $\ln^2x+1>0$ olduğundan $$\frac1{x(\ln^2 x+1)}>0$$ olur.
Süreklilik:
$x\ge 1$ için $1$ ve $x(\ln^2 x+1)$ fonksiyonları sürekli olduğundan (ve payda sıfır olmadığından) $$\frac{1}{x(\ln^2x+1)}$$ fonksiyonu sürekli olur.
Azalanlık:
Verilen fonksiyonun türevini alırsak, $x\ge 1$ değerleri için, $$f^\prime (x) \ = \ \dfrac{-1\cdot (\ln^2x+1)+x\cdot \left(\frac1x\cdot 2\ln x\right)}{(x(\ln^2x+1))^{2}}\ = \ \dfrac{-(\ln x -1)^2}{(x(\ln^2x+1))^{2}}<0$$ eşitsizliği sağlanır ve $f$ fonksiyonu $[e,\infty)$ üzerinde azalan olur.
Not: Burada $x$ ve $\ln x$ fonksiyonlarının pozitif değerli artanlık bilgisiyle $x(\ln^2x+1)$ fonksiyonunun da pozitif değerli artan olduğunu ve dolayısıyla fonksiyonumuzun azalan olduğunu çıkarabiliriz.
Test için istenen şartlar sağlandığına göre integral testini uygulayabiliriz.
İntegral hesabı:
Belirsiz integral olarak elimizde \begin{align*}\int \frac{1}{x(\ln^2x+1)}\ dx \ &= \ \int \dfrac1{u^2+1} \ du \qquad\qquad\color{teal}{\begin{matrix}u\ &=\ &\ln x \\[15pt] du \ &= \ &\dfrac1{x}\ dx \end{matrix}}\\[10pt] &= \ \arctan u+c\\[15pt] &= \ \arctan(\ln x)+c\end{align*} eşitliği var. Dolayısıyla \begin{align*}\int_1^\infty \frac{1}{x(\ln^2x+1)}\ dx \ &= \lim_{R \to \infty}\int_1^R \frac{1}{x(\ln^2x+1)}\ dx \\[25pt] &= \ \lim_{R \to \infty}\arctan(\ln x) \bigg|_1^R\\[25pt] &= \ \lim_{R \to \infty}(\arctan(\ln R) -\arctan(\ln 1))\\[25pt] &= \frac\pi2-0\\[25pt] &= \frac\pi2 \end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
İlişkili integralimiz yakınsak olduğundan, integral testi gereği, istenen $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(\ln^2n+1)}$$ toplamı da yakınsar.