Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Payda en güçlü terim $n^3$, payı $3n^3$ ile üstten sınırlayabiliriz.
- Paydada en güçlü terim $3^n$, paydayı $3^{n-1}$ ile alttan sınırlayabiliriz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile,
terimleri $n^3/3^n$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.
(Bu bağlantıyı limit karşılaştırma testi ile görmek mümkün.) - Bu toplama uygulanan oran testi limiti $1/3$ olur.
- Direkt karşılaştırma testi ile sonuca ulaşabiliriz.
Direkt karşılaştırma testi için uygun bireşitsizlik bulma:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $$0< n^3+n^2+1\le n^3+n^3+n^3=3n^3 \quad\text{ ve }$$ $$0<3^{n-1}= 3^n-3^{n-1}-3^{n-1} \le 3^n+n-1$$ eşitsizlikeri ve dolayısıyla $$0<\frac{n^3+n^2+1}{3^n+n-1}\le \frac{3n^3}{3^{n-1}}=\frac{n^3}{3^{n-2}} $$ eşitsizliği sağlanır.
Oran testi ile yakınsaklığı gösterme:
$a_n=n^3\cdot 3^{-(n-2)}$ olmak üzere \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(n+1)^3\cdot 3^{-((n+1)-2)}}{n^3\cdot 3^{-(n-2)}}\\[5pt]&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac13\left(\frac{n+1}{n}\right)^3\\[5pt]&=\lim\limits_{n \to \infty}\frac13\left(1+n^{-1}\right)^3\\[5pt]&=\frac13\cdot (1+0)^3\\[5pt]&=\frac13\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan, oran testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^{n-2}}$$ toplamı yakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^3+n^2+1}{3^n+n-1}$$toplamı yakınsak olur.