Fikir:
Kuvvet toplamları ile sonuca ulaşacağız.
Analiz:
- $x=1/2$ koyabileceğimiz şekilde
terimleri $n^3x^n$ olan kuvvet toplamını
fonksiyon olarak bulmaya çalışacağız.
- Bunun için terimleri $x^n$ olan geometrik toplamla, $1/(1-x)$, başlayıp
- türev ile terimleri $n x^{n-1}$ olan toplamı
- $x$ ile çarpıp terimleri $nx^n$ olan toplamı
- türev ile terimleri $n^2 x^{n-1}$ olan toplamı ve
- $x$ ile çarpıp terimleri $n^2x^n$ olan toplamı bulacağız
- türev ile terimleri $n^3 x^{n-1}$ olan toplamı ve
- $x$ ile çarpıp terimleri $n^3x^n$ olan toplamı bulacağız
- ve $x=1/2$ için hesaplayıp sonuca ulaşacağız.
Başlangıç:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$$ eşitliği sağlanır.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
$\star\star\star$ Basit olarak: $\dfrac{1-(1-x)}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{(1-x)^2}-\dfrac{1}{1-x}$ olarak görebiliriz.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}=\dfrac{1\cdot (1-x)^2-x\cdot(-2(1-x))}{(1-x)^4}=\dfrac{1+x}{(1-x)^3}$$ eşitliği sağlanır.
$\star\star\star$ Basitten devam: Türev $\dfrac{2}{(1-x)^3}-\dfrac{1}{(1-x)^2}$ olur.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n}=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}=\dfrac{x+x^2}{(1-x)^3}$$ eşitliği sağlanır.
Devam: $\dfrac{2-2(1-x)}{(1-x)^3}-\dfrac{1-(1-x)}{(1-x)^2}=\dfrac{2}{(1-x)^3}-\dfrac{3}{(1-x)^2}+\dfrac1{1-x}$ olarak görebiliriz.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty n^3x^{n-1}\ &= \ \dfrac{(1+2x)\cdot (1-x)^3-(x+x^2)\cdot(-3(1-x)^2)}{(1-x)^6}\\[15pt] &= \ \dfrac{(1+2x)(1-x)+3(x+x^2)}{(1-x)^4}\\[15pt] &= \ \dfrac{x^2+4x+1}{(1-x)^4}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Devam: Türev $\dfrac{6}{(1-x)^4}-\dfrac{6}{(1-x)^3}+\dfrac{1}{(1-x)^2}$ olur.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty n^3x^{n}=\dfrac{x(x^2+4x+1)}{(1-x)^4}$$ eşitliği sağlanır.
Değer hesaplama:
$|1/2|<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^3}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty n^3\left(\dfrac12\right)^{n}=\dfrac{\frac12\cdot\left(\left(\frac12\right)^2+4\cdot\frac12+1\right)}{\left(1-\frac12\right)^4}=2+16+8=26$$eşitliği sağlanır.