Fikir:
Kuvvet toplamları ile sonuca ulaşacağız.
Analiz:
- $x=1/2$ koyabileceğimiz şekilde
terimleri $nx^n$ olan kuvvet toplamını
fonksiyon olarak bulmaya çalışacağız.
- Bunun için terimleri $x^n$ olan geometrik toplamla, $1/(1-x)$, başlayıp
- türev ile terimleri $n x^{n-1}$ olan toplamı ve
- $x$ ile çarpıp terimleri $nx^n$ olan toplamı bulacağız
- ve $x=1/2$ için hesaplayıp sonuca ulaşacağız.
Başlangıç:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=0}^\infty x^n=\dfrac{1}{1-x}$$ eşitliği sağlanır.
Türev:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
x ile çarpma:
Her $|x|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty nx^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^2}$$ eşitliği sağlanır.
Değer hesaplama:
$|1/2|<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty n\left(\dfrac12\right)^{n}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{1/2}{(1-1/2)^2}=2$$eşitliği sağlanır.