Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $1/\ln n$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $0$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|1/\ln^n n\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1/\ln n\right) \\[15pt] &= 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{\ln^n n}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.