Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Diziden fonksiyona ($n$'den $x$'e)
sonsuzda sıfıra ($t=1/x^2$) geçerek ve - $0$ noktasında $5^t$ kurallı fonksiyonun türevinin, yani
$0$ noktasında $(5^t-1)/t$ limitinin, $\ln 5$ olduğunu kullanarak - bu toplamı terimleri $1/n^2$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.
Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{5^{x^{-2}}-1}{n^{-2}}\ &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5^{x^{-2}}-1}{x^{-2}}&&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{5^t -1}{t}&&{\color{teal}{(t=x^{-2})}}\\[15pt] &= \ \left.\dfrac{d}{dt} \left(5^t\right)\right|_{t=0}\\[15pt] &= \ \ln 5\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(5^{\frac1{n^2}}-1\right)$$ toplamı ıraksak olur.