Fikir ve analiz:
- $x=1/3$ olacak şekilde
toplamımızın terimleri $x^n/n$ olur. - Bu terimi $x^{n-1}$ teriminin integrali ile elde edebiliriz.
Bilindik kuvvet toplamı:
$|x|<1$ için $$\dfrac1{1-x}=\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}$$ eşitliği sağlanır.
İntegral alma:
$|x|<1$ için $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}n=\int_0^x\dfrac1{1-t}dt=\ln(1-t)\big|_{t=0}^{t=x}=\ln(1-x)$$ eşitliği sağlanır.
İstenen toplamın değeri:
$|1/3|<1$ olduğundan toplam $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n3^n}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(1/3)^n}{n}=\ln\left(1-\dfrac{1}3\right)=\ln\left(\dfrac23\right)$$ değerine eşit olur.