Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}}{\dfrac{x^n}{\sqrt{n^2+1}}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|x|\cdot \dfrac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|x|\cdot \dfrac{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}{\sqrt{\left(1+\frac1n\right)^2+\frac1{n^2}}}\right)\\[15pt] &=\ |x|\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{(1+0)^2+1}}\\[15pt] &=\ |x| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$|x|<1$ ise, yani $$\left(-1,1\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$|x|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-1\right)\bigcup\left(1,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$|x|=1$ ise, yani $$x=-1 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=1$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$$ toplamı olur.
Limit karşılatırma testi için limit:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n}{\sqrt{n^2+1}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}} \\[15pt] &= \ \frac1{\sqrt{1+0}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın ıraksaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı, $p=1\le1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Toplamın ıraksaklığı:
Üst limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt{n^2+1}}$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+1}}$$ toplamı olur.
Fikir:
İşaret değiştiren ve limiti sıfır olan dizimiz aynı zamanda mutlak olarak azalan olduğundan almaşık toplam testi kullanabiliriz.
İç terim dizisini tanımlama:
$a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+1}}$ olarak tanımlayalım.
İşaret değiştirme:
Her $n\ge 1$ tam sayısı için $$(-1)^na_n=(-1)^n\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}>0$$ olduğundan $\{a_n\}$ dizisi almaşık bir dizidir.
(Mutlak) Limitin sıfır olması:
İç terimlerin mutlağının limitine bakarsak $$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}=0$$ eşitliği sağlanır.
Mutlak olarak azalan olması:
$[1,\infty)$ üzerinde $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-1/2}$ fonksiyonu ile ilgilenirsek $$f^\prime(x)=-\frac12(x^2+1)^{-3/2}\cdot (2x)=-\dfrac{x}{(x^2+1)^{3/2}}<0$$ eşitsizliği bize $f$ fonksiyonunun ve dolayısıyla da $\{|a_n|\}$ dizisinin azalan olduğunu verir.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu koşullar sağlandığı için, almaşık toplam testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+1}}$$ toplamı yakınsak olur.
Sonuç:
$\left.\left[-1,1\right.\right)$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{\sqrt{n^2+1}}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.