Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{x^{n+1}}{4(n+1)^2-1}}{\dfrac{x^n}{4n^2-1}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|x|\cdot \dfrac{4n^2-1}{4(n+1)^2-1}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|x|\cdot \dfrac{4-\frac1{n^2}}{4\left(1+\frac1n\right)^2+\frac1{n^{2}}}\right)\\[15pt] &=\ |x|\cdot\frac{4-0}{4(1+0)^2-0}\\[15pt] &=\ |x| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$|x|<1$ ise, yani $$\left(-1,1\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$|x|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-1\right)\bigcup\left(1,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$|x|=1$ ise, yani $$x=-1 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=1$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}$$ toplamı olur.
Limit karşılatırma testi için limit:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{1}{4n^2-1}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{4-\frac1{n^2}} \\[15pt] &= \ \frac1{4-0}\\[15pt] &= \ \frac14\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2>1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Toplamın yakınsaklığı:
Üst limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=-1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1}$$ toplamı olur.
Fikir:
Üstte gösterdiğimiz üzere bu toplam mutlak yakınsaktır.
Mutlak alma:
Terimlerin mutlakları toplamı ile ilgilenirsek bu toplam $$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{4n^2-1}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1}$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsar.
Sonuç:
$\left.\left[-1,1\right.\right]$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{4n^2-1}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.