Fikir ve analiz:
Her $n$ tam sayısı için $\cos(\pi n)=(-1)^n$ eşitliği sağlandığından toplamımızı $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\cos(n\pi)\sin\left(\dfrac\pi n\right)=\sum_{n=2}^\infty (-1)^n\sin \left(\dfrac{\pi}{n}\right)$$ olarak ifade edebiliriz.
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan bu toplama almaşık toplam testi uygulayacağız.
Almaşık olması:
Toplamın terimlerine $\{a_n\}$ diyelim.
$\sin$ fonksiyonu $(0,\pi/2)$ aralığı üzerinde pozitif değerler aldığından her $n\ge2$ pozitif tam sayısı için $$(-1)^na_n=\sin(\pi/n)>0$$ eşitsizliği sağlanır.
Dolayısıyla toplamın terimleri almaşık biz dizidir.
Mutlak olarak azalan olması:
$\sin$ fonksiyonu $(0,\pi/2)$ aralığında artan bir fonksiyon ve $\{\pi/n\}_{n\ge2}$ dizisi bu aralık içerisinde azalan bir dizi. Bu nedenle $$\{\sin(\pi/n)\}_{n\ge2}$$ azalan bir dizi olur.
Limitin sıfır olması:
Sonsuzda $\pi/n$ sıfıra gittiğinden ve $\sin$, özel olarak sıfır noktasında, sürekli olduğundan $$\lim_{n\to \infty} \sin\left(\frac\pi n\right)=\sin 0=0$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Terimleri almaşık, mutlak olarak azalan ve limiti sıfır olan $$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\cos(n\pi)\sin\left(\dfrac\pi n\right)$$ toplamı almaşık toplam testi gereği yakınsar.