Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $n$. dereceden kökünü alırsak
limiti $(4/3)^5$ olur. - Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(\dfrac{4n+1}{3n+2}\right)^{5n+4}\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{4n+1}{3n+2}\right)^{5+4/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\dfrac{4+1/n}{3+2/n}\right)^{5+4/n}\\[15pt] &= \left(\dfrac{4+0}{3+0}\right)^{5+0}\\[15pt] &= \left(\dfrac43\right)^5\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu limit değeri $>1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{n+2}{2n+1}\right)^{2n-1}$$ toplamı, kök testi gereği, ıraksar.