Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $n$. dereceden kökünü alırsak
limiti $(1/2)^2$ olur. - Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(\dfrac{n+2}{2n+1}\right)^{2n-1}\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{n+2}{2n+1}\right)^{2-1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1+2/n}{2+1/n}\right)^{2-1/n}\\[15pt] &= \left(\dfrac{1+0}{2+0}\right)^{2-0}\\[15pt] &= \dfrac14\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{n+2}{2n+1}\right)^{2n-1}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.