Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{((2n)!)^5}{((3n)!)^2\cdot (n!)^4}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{((2(n+1))!)^5}{((3(n+1))!)^2\cdot ((n+1)!)^4}}{\dfrac{((2n)!)^5}{((3n)!)^2\cdot (n!)^4}}\right| \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+1)(2n+2))^5}{((3n+1)(3n+2)(3n+3))^2(n+1)^4} \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty} \dfrac{((2+1/n)(2+2/n))^5}{((3+1/n)(3+2/n)(3+3/n))^2(1+1/n)^4} \\[15pt] &=\ \dfrac{((2+0)(2+0))^5}{((3+0)(3+0)(3+0))^2(1+0)^4} \\[15pt] &= \ \dfrac{2^{10}}{3^6} \\[15pt] &=\ \left(\dfrac{32}{27}\right)^2\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu $>1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{((2n)!)^3}{((3n)!)^2n!}$$ toplamı, oran testi gereği, ıraksar.