Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanarak
- $\sin\left(\pi^{-n}\right)$ ile $\pi^{-n}$ ilişkilendirmesi yapabiliriz.
- Bu ilişkilendirme ile toplamımız terimleri $(3/\pi)^n$ geometrik toplam ile ilişkilenmiş olur.
Limit alma:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{3^n\sin\left(\pi^{-n}\right)}{(3/\pi)^{-n}}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\sin\left(\pi^{-n}\right)}{\pi^{-n}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin\left(\pi^{-x}\right)}{\pi^{-x}} &&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{t \to 0^+} \dfrac{\sin\left(t\right)}{t} &&{\color{teal}{(t=\pi^{-x})}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac3\pi\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{\pi}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 3^n\sin\left(\pi^{-n}\right)$$toplamı yakınsak olur.