Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $n^{3/2}$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki kökün içerisinde en güçlü terim olan $n^5$ ile ilgilenmeliyiz.
Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında limit karşılaştırma testini uygulayacağız.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^5+13}}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^5+13}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{13}{n^5}}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{1+0}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
Harmonik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n$$ toplamı, $p=1 \leq 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n^5+13}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.