$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \left(1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty \left(1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da (fonksiyonsal olarak) toplamı bir $p$-toplam ile ilişkilendirebiliriz. 
• Bunun için $\infty$'da $1-\cos(1/x)$ ile
• ya da daha basit bir halde  ($t=1/x$) olarak $0^+$'da $1-\cos t$ ile ilgilenebiliriz
• Bu ifadeyi $t^2$ ile bölerek limiti pozitif gerçel sayı kılabiliriz.
  (bunu direkt limit alarak ya da l'Hopital kullanarak gösterebiliriz.)
  (ayrıca $0$'da $(1-\cos t)/t^2$ limiti $(\sin t)/t$ kadar bilindiktir.)
• Bu da toplamımızı terimi $1/n^2$ olan toplamla kıyaslayabileceğimizi söyler.

---

---

Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\dfrac{1-\cos\left(\dfrac1{n}\right)}{\dfrac{1}{n^2}} \ &= \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{1-\cos\left(\dfrac1{x}\right)}{\dfrac{1}{x^2}} &&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}} \\[15pt] &= \ \lim_{t\to 0^+}\dfrac{1-\cos t}{t^2} &&{\color{teal}{(t=1/x)}} \\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim_{t\to 0^+}\dfrac{ \sin t}{2t}\\[15pt]  &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim_{t\to 0^+}\dfrac{ \cos t}{2}\\[15pt] &= \ \frac{\cos 0}{2}\\[15pt] &= \ \dfrac12\end{align*}eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınar.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( 1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• Toplam direkt $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da
• $x>0$ için $\sin x < x$ eşitsizliği ile bunu sağlayabiliriz.
• Bu eşitsizliği kullanabilmek için $\cos$ ile $\sin$ arasında bir köprü kurabiliriz.
  $1-\cos 2x=2\sin^2x$ eşitliği sağlanır.
•  Bu işlemleri yaptığımızda toplamın terimini, toplamı yaksınsak olan, $1/n^2$ ifadesinden küçük kılmış oluruz.

---

---

Direkt karşılaştırma testine uygun aday bulma:
Her pozitif $x$ gerçel sayısı için $1-\cos 2x=2\sin^2 x$ eşitliği ve $\sin x<x$ eşitsizliği sağlanır. Bu bilgiler ile \begin{equation}\label{eq}0\le 1-\cos\left(\frac1n\right)=2\sin^2\left(\frac1{2n}\right) \le 2\left(\frac{1}{2n}\right)^2=\frac{1}{2n^2}\end{equation}eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar. 

Sıfır olmayan sabit çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n^2}$$ toplamı yakınsak olur.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan ve Eşitsizlik \eqref{eq} sağlandığından, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left( 1-\cos\left(\frac1n\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.