Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- $\sin\beta-\sin\alpha$ ifadesini trigonometrik çarpıma getiren eşitliği kullanırsak
- $\cos$ içindeki ifade sıfıra gittiğinden limiti $1$ olur ve
$\sin$ içindeki ifade limitsel olarak $1/n^2$ ile benzerlik gösterir. - $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanarak
- bu toplamı terimleri $1/n^2$ olan toplamla ilişkilendirebiliriz.
Trigonometrik eşitlik:
Her $\alpha, \beta \in \mathbb R$ için $$\sin \beta -\sin\alpha =2\cos\left(\dfrac{\beta+\alpha}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)$$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliği kullanırsak toplamın terimleri\begin{align*}& \ 2\cos\left(\dfrac{1}{2(5n+1)}+\dfrac{1}{2(5n+2)}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)}-\dfrac{1}{2(5n+2)}\right)\\[15pt]=\ &2\cos\left(\dfrac{1}{2(5n+1)}+\dfrac{1}{2(5n+2)}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)\end{align*} ifadesine eşit olur.
Ara limit alma:
İlgilenmemiz gereken $\sin$ kısmı için limiti hesaplarsak \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} &\dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)}{\dfrac1{n^2}}\\[25pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)}{\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}}{\dfrac1{n^2}}\right)\\[25pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)}{\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}}\cdot \dfrac{1}{2(5+1/n)(5+2/n)}\right)\\[25pt] &= \ 1\cdot \dfrac1{2(5+0)(5+0)}\\[25pt] &= \ \dfrac1{50}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım.
İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty}& \dfrac{2\cos\left(\dfrac{1}{2(5n+1)}+\dfrac{1}{2(5n+2)}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)}{\dfrac1{n^2}}\\[25pt] &=\ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 2\cos\left(\dfrac{1}{2(5n+1)}+\dfrac{1}{2(5n+2)}\right)\cdot\dfrac{\sin\left(\dfrac{1}{2(5n+1)(5n+2)}\right)}{\dfrac1{n^2}}\right)\\[25pt] &=\ 2\cdot \cos(0+0)\cdot \dfrac1{50}\\[25pt] &=\ \dfrac1{25}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\sin\left(\dfrac{1}{5n+1}\right)-\sin\left(\dfrac{1}{5n+2}\right)\right)$$ toplamı yakınsak olur.