Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplam $p$-toplamları ile ilişkili olmasa da fonksiyonsal türevi ilişkilidir.
- Bu nedenle fonksiyonsal türevi bu türev ile denk olacak bir $p$-toplam bulmamız gerekli.
- Bu toplamın terimlerinin fonksiyonsal olarak türevini aldığımızda toplamının $1/n^2$ terimli toplamla ilişkili olması gerektiğini görebiliriz.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*}\lim_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)}{\dfrac{1}{n^2}} \ &= \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-\arctan(x^2)}{\dfrac{1}{x^2}} &&{\color{teal}{\text{(diziden fonksiyona)}}} \\[15pt] &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim_{x\to \infty}\dfrac{-2x\cdot \dfrac{1}{1+(x^2)^2}}{-2x^{-3}}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^4}{x^4+1}\\[15pt] &= \ \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{1+x^{-4}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2>1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan(n^2)\right)$$ toplamı yakınsak olur.