Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $3^n$ ile ilgilenmeliyiz.
($3^n$ limitsel olarak $\sin n$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} \sin n/3^n=0$.) - Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/3^n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{3^n+\sin n}}{\dfrac1{3^n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{\sin n}{3^n}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac13\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ toplamı yakınsar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n+\sin n}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Eksik bırakılan limit hesaplaması:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $-1\le \sin n \le 1$ olduğundan $$\dfrac{-1}{3^n}\le \dfrac{\sin n}{3^n} \le \dfrac1{3^n}$$ eşitsizliği sağlanır.
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-1}{3^n}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac1{3^n}=0$ olduğundan, sıkıştırma savı gereği, $$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sin n}{3^n}=0$$ eşitliği sağlanır.